高三数学复习专题讲座－第五讲函数的单调性

　　　　　　　　　　　　

知识点及方法

　 判断函数的单调性;证明函数的单调性;函数单调性的应用（解不等式、比较大小、求函数的值域和最值）

判断函数的单调性

1.　　　 写出函数的的单调区间.

2.　　　 写出函数的的单调区间.

3.　　　 已知函数,,求的单调区间.

4.　　　 已知 ， 求函数单调区间。

5.　　　 若函数f(x)的图象与函数的图象关于直线对称，求的单调递减区间.

6.　　　 已知函数f(x)=||＋||的值随x值的增大而增大，求x的取值范围.

7.　　　 设f (x) =(a ¹)，讨论xÎ的单调性。

8.　　　 已知y=2x²－2ax+3在区间[－1,1]上的最小值是f(a),试求f(a)的解析式,并说明当a∈[－2,1]　 时,的单调性.

9.　　　 已知二次函数f(x)的二次项系数为正,且对于任意实数x,都有f(2-x)=f(x＋2)，讨论函数f(x)的单调性。

10.　　 已知函数f(x)=|x²-1|＋m|x＋1|＋a有最小值f(2)=-4，(a)作出函数y=f(x)的图象，(b)写出函数f(1-2x)的递增区间。

证明函数的单调性

1.　 已知函数f(x)=, 用函数单调性的定义证明：在(－∞,+∞)上单调递减.

2.　 已知函数f(x)= 在区间上是增函数。

3.　 求证：函数当时是增函数。

4.　 已知函数f(x)=,(a＞1)，（1）求f(x)的定义域、值域; （2）判断f(x)的单调性,并证明;

二次函数的单调性

1.　　 函数在上是减函数，求a的取值范围。

2.　　 函数在上是减函数求a的取值范围。

3.　　 函数在上是减函数,在上是增函数，求a。

4.　　 函数在[-1,2]上是增函数,求m的取值范围。

5.　　 已知在上是减函数,且求a的取值范围。

单调性与大小关系

1.　 已知，当时有. 求的取值范围.

2.　 若,指出的大小关系.

3.　 已知log_a(a²＋1)＜log_a2a＜0, 求a的取值范围.

4.　 如果ax²+bx+c＞0(a≠0)的解集为{x|x＜－2或x＞4},设f(x)=ax²+bx+c,试比较f(－1),f(2),f(5)的大小.

5.　 设函数,在和的公共定义域内,比较与大小.

6.　 已知试比较与大小.

7.　 比较大小:　　　　　　　　　　　　　　 　　　

函数的单调性与值域、最值、不等式恒成立

1.　 求函数 的值域。

2.　　　 求值域.

3.　　　 求函数值域.

4.　　　 已知函数，当时恒有，求的取值范围。

5.　　　 设不等式2x－1＞m(x²－1)对满足|m|≤2的实数m的取值都成立, 求x的取值范围.

6.　　　 二次函数f(x) ,当x[－2,2]时, 恒成立,求实数a的取值范围.

7.　　　 设，其中，如果当时，有意义，求的取值范围。

8.　　　 已知，（、为常数）（1）当、时，求的定义域；（2）当时，判断在定义域内的单调性；（3）当时，在上恒为正，求、满足的条件。

9.　　　 已知函数满足，其中且。（1）对于当时，，求的取值范围。（2）当时，恒为负，求的取值范围。

10.　　 已知函数在区间[0,1]上单调减，求的取值范围.

11.　　 已知函数在区间上是单调增函数，求的取值范围。

12.　　 已知函数在区间上是单调增函数，求的取值范围。

13.　　 已知函数。讨论在上的单调性。

14.　　 求函数（的单调区间。

15.　　 设函数，（1）求函数的最大值；（2）若对恒成立，求的取值范围。

16.　　 求使对恒成立的的最大值.

函数单调性与奇偶性及其综合应用

1．　 翰林汇若f(x)在定义域R上是偶函数,且当x≥0时为偶函数, 求使的实数a的取值范围.

2．　 翰林汇若奇函数y=f(x)在R上单调递增，且f(m²)＞－f(m)，求实数m的取值范围.

3．　 设定义域R上的函数f(x)既是单调函数又是奇函数,若对一切　　 tR⁺成立,求实数k的取值范围.

4．　 已知函数f(x)是定义在(－∞,4]上的减函数,且f(m－sinx)≤f(+cos²x)对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

5．　 已知函数是奇函数,又f(1)=f(2),f(2)＜3,且f(x)在[1,+∞)上递增.(1)求a,b,c的值; (2)当x＜0时,讨论f(x)的单调性. 已知二次函数f(x)的图像开口向下,且对于任意实数x都有f(2－x)=f(2＋x)求不等式： f[(x² ＋x＋)]＜f[(2x²－x＋)]的解.

6．　 设a∈R,f(x)=(x∈R), (1) 确定a的值,使f(x)为奇函数. (2) 当f(x)为奇函数时,对于给定的正实数k,解不等式 f ^–1(x)＞log₂. (3) 设g(n)=(n∈N).当f(x)是奇函数时，试比较f(n)与g(n)的大小。

7．　 设f(x)=.　 （1）试判断函数f(x)的单调性,并给出证明;（2）若f(x)的反函数，证明方程=0有唯一解;（3）解不等式f [x()]＜。

8．　 已知函数f(x)=log_a(a－a^x),(a＞1)（1）求f(x)的定义域和值域;（2）讨论函数的单调性;（3）解方程= f (x).

9．　 已知函数f(x)=(-1<x<1，n)，（1）判断y=f^-1(x)在(0，上是增函数还是减函数？并证明你的结论；（2）已知n时，2ⁿ>n²，试比较f^-1(的大小。

10．已知函数的值域是[1,3]。（1）求（2）判断函数在上的单调性，并予以证明.

11．设是定义域为的奇函数，且它在区间上单调增.（1）用定义证明:在上的单调性;（2）若且试判断的符号;（3）若解关于的不等式.

12．函数的定义域是,对任意实数都有.当时,且.（1）判断的奇偶性、单调性；（2）求在区间上的最大值、最小值；（3）当时，对所有都成立，求实数的取值范围.

13．已知二次函数,(为常数)，满足且方程有等根①求是否存在实数，使定义域和值域分别为和。如果存在求出；如果不存在，说明理由。

14．已知若在区间[1,4]上最大值为，最小值为令.（1）求的解析式（2）讨论在上的单调性（3）当时，证明

15．设二次函数 的图象以y轴为对称轴，已知a＋b=1，而且若点(x，y)在 的图象上，则点(x，y²＋1)在函数 的图像上。（1）求g(x)的解析式；（2）设F(x) =，问是否存在这样的l(lÎR)，使F(x)在 内是减函数，在(0)内是增函数。

16．在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0）、P（1，t）、

　　　 Q（1－2t，2＋t）、R（－2t，2），其中t∈(0，＋)。（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t)；

　　　 （2）确定函数S(t)的单调区间，并加以证明。